Question

在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，Sn=

1

2

n2+

3

2

n．n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=na_n（n∈N^*），求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用遞推公式可得當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

1

2

+

3

2

=2當(dāng)n≥2時(shí)當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
（Ⅱ）由（I）可得b_n=n（n+1），從而可得

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，故考慮利用裂項(xiàng)求和可求

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

1

2

+

3

2

=2（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

3

2

n-[

1

2

(n-1)2+

3

2

(n-1)]=n+1（3分）
檢驗(yàn)n=1時(shí)，a₁=2，符合上式．（4分）
則a_n=n+1（n∈N^*）．（5分）
（Ⅱ）因?yàn)閎_n=na_n（n∈N^*），
所以b_n=n（n+1）．（6分）

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（8分）
Tn=

1

b

1+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
所以數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n=

n

n+1

（n∈N^*）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和的裂項(xiàng)求和，考查了基本運(yùn)算的能力