Question

若a＞0，b＞0，且點（a，b）在過點（1，-1），（2，-3）的直線上，則的最大值是________．

Answer 1

分析：由點（a，b）在過點（1，-1）和（2，-3）的直線上得2a+b=1，所以S=2 -4a²-b²=4ab+2 -1，再令 =t＞0，則S化為關于t的二次函數(shù)形式，再由二次函數(shù)的性質結合t的取值范圍可得S的最大值．
解答：過點（1，-1），（2，-3）的直線方程為：，2x+y-1=0．
∴2a+b-1=0，即2a+b=1．
S=2 -4a²-b²=4ab+2 -（2a+b）²=4ab+2 -1
令 =t，∵a＞0，b＞0，∴2a+b=1≥2，∴0＜≤，即 0＜t ，
則 S=4t²+2t-1，在（0，+∞）上為增函數(shù)
故 當t= 時，S 有最大值 ，
故答案為：．
點評：本題考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于中檔題．注意利用等價轉換，結合基本不等式和二次函數(shù)的單調來求這個最值問題．運用換元的思想得到 S=4t²+2t-1，
是解決本題的關鍵．