Question

已知函數f（x）=e^x-e^-x（x∈R），不等式e^t•f（2t）-mf（t）＜0對于t∈（0，1）恒成立，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據指數函數的性質，將不等式轉化為求函數的最值恒成立問題，即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=e^x-e^-x（x∈R），
∴f（2x）=e^2x-e^-2x（x∈R），
則不等式e^t•f（2t）-mf（t）＜0等價為
e^t•（e^2t-e^-2t）-m（e^t-e^-t）＜0，
即e^t•（e^t-e^-t）（e^t+e^-t）＜m（e^t-e^-t），
當t∈（0，1）時，e^t-e^-t＞0，
∴不等式等價為e^t•（e^t+e^-t）＜m，
即e^2t+1＜m在t∈（0，1）恒成立，
即（e^2t+1）_max＜m，
當t∈（0，1）時，e^2t+1∈（2，e²+1），
∴m≥e²+1，
故答案為：[e²+1，+∞）．

點評：本題主要考查指數函數的性質和運算，以及根據指數函數的性質解決不等式恒成立問題，考查學生的計算能力．