已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的乘積為.直線l過(guò)F2點(diǎn),且與直線F1F2的夾角為α,且tanα=,l與線段F1F2垂直平分線的交點(diǎn)為P,線段PF2與雙曲線的交點(diǎn)為Q,且PQ∶QF2=2∶1,求雙曲線方程.

思路解析:已知曲線的形狀,可采用待定系數(shù)法,根據(jù)曲線的對(duì)稱性,可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.

解:取F1、F2所在直線為x軸,F(xiàn)1F2的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)雙曲線方程為-=1,設(shè)F1(-c,0),F2(c,0).

從題設(shè)知直線l方程為y=tanα(x-c),即y=(x-c).在方程中令x=0,得點(diǎn)P坐標(biāo)(0,-),因=2,由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)Q坐標(biāo)(c,-c).

∵點(diǎn)Q在雙曲線上,∴-=1     ①.         又c2=a2+b2          ②,

從題設(shè)有ab=                              ③,

從式①、②消去c,化簡(jiǎn)整理得16()4-41()2-21=0,

解此方程得()2=3或()2=-(舍去).

=(∵a>0,b>0),            ④

又從式③、④解得a=1,b=.

故所求雙曲線方程為x2-=1.

從對(duì)稱性知,雙曲線y2-=1也適合.

∴正確答案應(yīng)是x2-=1或y2-=1.

方法歸納

    由已知條件求曲線方程,如果由條件可知曲線的種類(lèi)及方程的具體形式,那么一般用待定系數(shù)法來(lái)解決.涉及幾個(gè)獨(dú)立參變量,那么就需要列出與參數(shù)變量個(gè)數(shù)相同的獨(dú)立等式,轉(zhuǎn)化為解方程組求解,若未知曲線形狀,那么可以采用直接法(或其他方法)求解.


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2
,直線l與線段F1F2的垂直平分線的交點(diǎn)為P,線段PF2與雙曲線的交點(diǎn)為Q,且
PQ
=2
QF2
,求雙曲線方程.

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