Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c（x∈R）給出下列4個(gè)命題：
①當(dāng)b=0，c=0時(shí)，f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；   
②當(dāng)c=0時(shí)，y=f（x）是偶函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱(chēng)；
④當(dāng)b≠0，c≠0時(shí)，方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
上述命題中，所有正確命題的個(gè)數(shù)是

2個(gè)

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次分析四個(gè)命題：①當(dāng)b=0，c=0時(shí)，f（x）=x|x|=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根0；   ②當(dāng)c=0時(shí)，y=f（x）=x|x|+bx是奇函數(shù)；③設(shè)g（x）=x|x|+bx，因?yàn)間（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)y=f（x）的圖象可以由g（x）=x|x|+bx的圖象上下平移c個(gè)單位得到．故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱(chēng)；④當(dāng)c=0，b＜0時(shí)，f（x）=x|x|+bx=

x2+bx，x≥0 -x2+bx，x＜0

，方程f（x）=0可以有三個(gè)實(shí)數(shù)根．

解答：解：由f（x）=x|x|+bx+c（x∈R），知：
①當(dāng)b=0，c=0時(shí)，f（x）=x|x|=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根0，故①正確；   
②當(dāng)c=0時(shí)，y=f（x）=x|x|+bx是奇函數(shù)，故②不正確；
③設(shè)g（x）=x|x|+bx，因?yàn)間（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)y=f（x）的圖象可以由g（x）=x|x|+bx的圖象上下平移c個(gè)單位得到．故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱(chēng)，故③正確；
④當(dāng)c=0，b＜0時(shí)，如圖②，f（x）=x|x|+bx=

x2+bx，x≥0 -x2+bx，x＜0

，方程f（x）=0可以有三個(gè)實(shí)數(shù)根．
故④不成立．

故答案為：2個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查真假命題的判斷、函數(shù)的奇偶性，方程根的個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．