Question

如圖，過拋物線y²=4x焦點(diǎn)的直線依次交拋物線與圓（x-1）²+y²=1于A，B，C，D，則

AB

•

CD

=

1

．

Answer 1

分析：拋物線y²=4x焦點(diǎn)F（1，0）恰好是圓（x-1）²+y²=1的圓心是（1，0），若直線的斜率不存在，則直線方程為x=1，
代入拋物線方程和圓的方程，可直接得到ABCD四個點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），由此能求出

AB

•

CD

=1．若直線的斜率存在，設(shè)為k，則直線方程為y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由韋達(dá)定理有x₁x₂=1，由拋物線的焦點(diǎn)F同時是已知圓的圓心，知|

AB

|=|

AF

|-|

BF

|=x₁，|

CD

|=|

DF

|-|

CF

|=x₂，由此能求出

AB

•

CD

=1．

解答：解：∵拋物線y²=4x焦點(diǎn)F（1，0），p=2，
圓（x-1）²+y²=1的圓心是（1，0）半徑r=1，
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及圓（x-1）²+y²=1于點(diǎn)A，B，C，D，
A，D在圓上，B，C在拋物線上
1．若直線的斜率不存在，則直線方程為x=1，
代入拋物線方程和圓的方程，
可直接得到ABCD四個點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），
所以

AB

=(0，-1)，

CD

=(0，-1)，

AB

•

CD

=1．
2．若直線的斜率存在，設(shè)為k，則直線方程為y=k（x-1），
因?yàn)橹本�過拋物線的焦點(diǎn)（1，0）
不妨設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
過AB分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義，|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，
把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由韋達(dá)定理有x₁x₂=1，
而拋物線的焦點(diǎn)F同時是已知圓的圓心，
所以|

BF

|=|

CF

|=r=1，
從而有|

AB

|=|

AF

|-|

BF

|=x₁，
|

CD

|=|

DF

|-|

CF

|=x₂，
∵A，B，C，D四點(diǎn)共線，
∴

AB

•

CD

=|

AB

|•|

CD

|=x₁x₂=1．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．