Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，對(duì)于任意的n∈N^*都有S_n+1-3S_n-1=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n•a_n=n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n•a_n=n，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由S_n+1-3S_n-1=0，①
得S_n-3S_n-1-1=0（n≥2），②
①-②得，a_n+1-3a_n=0（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3（n≥2）$，
又由S_n+1-3S_n-1=0，得a₁+a₂-3a₁-1=0，得a₂=2a₁+1=3．
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
則${a}_{n}={3}^{n-1}$；
（2）由b_n•a_n=n，得$_{n}=\frac{n}{{a}_{n}}=\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n =b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{{3}^{0}}+\frac{2}{{3}^{1}}+\frac{3}{{3}^{2}}+…+\frac{n}{{3}^{n-1}}$，①
則$\frac{1}{3}{T}_{n}=\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}+…+\frac{n-1}{{3}^{n-1}}+\frac{n}{{3}^{n}}$，②
$\frac{2}{3}{T}_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}-\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{{3}^{n}}=\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴${T}_{n}=\frac{9}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{n}{2•{3}^{n-1}}$=$\frac{9}{4}-\frac{2n+3}{4•{3}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．