Question

如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，
且∥，是中點(diǎn)，平面，
， 是中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）根據(jù)中位線可得∥，從而可證得∥平面。證四邊形為平行四邊形可得∥平面，從而可證得平面平面。（2）法一：延長、交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面，易證△與△全等。過作的垂線，則與垂足的連線也垂直。由二面角的平面角的定義可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空間向量法。由題意可以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)求出個(gè)向量的坐標(biāo)，在根據(jù)數(shù)量積公式求各面的法向量，在用數(shù)量積公式求其兩法向量夾角的余弦值。注意兩法向量所成的角可能與二面角相等也可能為其補(bǔ)角。
試題解析：(1) 證明： 且∥，2分
則平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.
6分
(2) 『解法1』：
延長、交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面，易證△與△全等，過作于，連，則，由二面角定義可知，平面角為所求角或其補(bǔ)角.
易求，又，，由面積橋求得，所以
所以所求角為，所以
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為
『解法2』：
以為原點(diǎn)，方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042332104266.png" style="vertical-align:middle;" />軸，以平面內(nèi)過點(diǎn)且垂直于方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042332151310.png" style="vertical-align:middle;" />軸 以方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824042332214231.png" style="vertical-align:middle;" />軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
則，，，
，，8分
所以，，
可求得平面的法向量為
又，，
可求得平面的法向量為
則，
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為 12分