對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p,q,使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”.
(I)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,數(shù)列{an}、{bn}是否為“M類數(shù)列”?若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p&,q,若不是,請說明理由;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t為常數(shù).
(1)求數(shù)列{an}前2009項(xiàng)的和;
(2)是否存在實(shí)數(shù)t,使得數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,如果存在,求出t;如果不存在,說明理由.
【答案】分析:對于(I)因?yàn)閍n=2n,bn=3•2n,則可驗(yàn)證an+1與an的關(guān)系,bn+1與bn的關(guān)系*,寫出表達(dá)式,即可驗(yàn)證數(shù)列{an}、{bn}是否為“M類數(shù)列”.
對于(II)(1)因?yàn)閍n+an+1=3t•2n,可依此相加列出數(shù)列{an}前2009項(xiàng)和等式,可以看出是等比數(shù)列的求和公式求得.
(2)可假設(shè)數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,則存在實(shí)常數(shù)p,q使得an+1=pan+q對于任意n∈N*都成立,且有an+2=pan+1+q對于任意n∈N*都成立,再根據(jù)題意解除t,求出對應(yīng)常數(shù)即可.
解答:解:(I)因?yàn)閍n=2n,則有an+1=an+2,n∈N*
故數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1,2.
因?yàn)閎n=3•2n,則有bn+1=2bnn∈N*
故數(shù)列{bn}是“M類數(shù)列”,對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2,0.
(II)(1)因?yàn)閍n+an+1=3t•2n(n∈N*
則有a2+a3=3t•22,a4+a5=3t•24,a2006+a2007=3t•22006,a2008+a2009=3t•22008
故數(shù)列{an}前2009項(xiàng)的和S2009=a1+(a2+a3)+(a4+a5)++(a2006+a2007)+(a2008+a2009)+(a2008+a2009)=2+3t•22+3t•24++3t•22006+3t•22008=2+t(22010-4)
故答案為2+t(22010-4)
(2)若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,則存在實(shí)常數(shù)p,q
使得an+1=pan+q對于任意n∈N*都成立,
且有an+2=pan+1+q對于任意n∈N*都成立,
因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q對于任意n∈N*都成立,
而an+an+1=3t•2n(n∈N*),且an+1+an+2=3t•2n+1(n∈N*
則有3t•2n+1=3t•p2n+2q對于任意n∈N*都成立,可以得到t(p-2)=0,q=0,
①當(dāng)p=2,q=0時(shí),an+1=2an,an=2n,t=1,經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.
②當(dāng)t=0,q=0時(shí),an+1=-an,an=2(-1)n-1,p=-1經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.
因此當(dāng)且僅當(dāng)t=1或t=0,時(shí),數(shù)列{an}也是“M類數(shù)列”.對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2,0,或-1,0.
點(diǎn)評:此題主要考查數(shù)列的概念及其簡單的表示法,由題目定義一個(gè)數(shù)列求這個(gè)數(shù)列的一系列性質(zhì)的問題.題目較復(fù)雜屬于綜合題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p,q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”.
(1)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,數(shù)列{an}、{bn}是否為“M類數(shù)列”?若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p,q,若不是,請說明理由;
(2)證明:若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,則數(shù)列{an+an+1}也是“M類數(shù)列”;
(3)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t為常數(shù).求數(shù)列{an}前2009項(xiàng)的和.并判斷{an}是否為“M類數(shù)列”,說明理由;
(4)根據(jù)對(2)(3)問題的研究,對數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an、an+1,提出一個(gè)條件或結(jié)論與“M類數(shù)列”概念相關(guān)的真命題,并探究其逆命題的真假.

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5、對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p,q,使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”.
(I)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,數(shù)列{an}、{bn}是否為“M類數(shù)列”?
若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p&,q,若不是,請說明理由;
(II)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t為常數(shù).
(1)求數(shù)列{an}前2009項(xiàng)的和;
(2)是否存在實(shí)數(shù)t,使得數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,如果存在,求出t;如果不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p,q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈R*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“K類數(shù)列”.
(Ⅰ)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,數(shù)列{an},{bn}是否為“K類數(shù)列”?若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p,q,若不是,請說明理由;
(Ⅱ)證明:若數(shù)列{cn}是“K類數(shù)列”,則數(shù)列{an+an+1}也是“K類數(shù)列”;
(Ⅲ)若數(shù)列an滿足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t為常數(shù).求數(shù)列{an}前2012項(xiàng)的和.并判斷{an}是否為“K類數(shù)列”,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•湖北模擬)對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p、q,使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”;
(1)若an=2n,數(shù)列{an}是否為“M類數(shù)列”?若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p、q,若不是,請說明理由;
(2)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+an+1=3•2n(n∈N*),若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn,求證:
4
S1S2
+
4
S2S3
+
4
S3S4
+…+
4
SnSn+1
19
42
(n≥3).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•懷柔區(qū)二模)對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p,q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“T數(shù)列”.
(Ⅰ)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,數(shù)列{an}、{bn}是否為“T數(shù)列”?若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p,q,若不是,請說明理由;
(Ⅱ)證明:若數(shù)列{an}是“T數(shù)列”,則數(shù)列{an+an+1}也是“T數(shù)列”;
(Ⅲ)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t為常數(shù).求數(shù)列{an}前2013項(xiàng)的和.

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