Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₅=10，S₁₅=240．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和前n項(xiàng)和S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：${b_n}={a_{3^n}}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得首項(xiàng)和公差的方程組，解方程組可得通項(xiàng)公式和求和公式；
（2）由（1）可得{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為6，公比為3，代入求和公式計(jì)算可得．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則a₅=a₁+4d=10，${S_{15}}=\frac{{{a_1}+{a_{15}}}}{2}×15=15{a_8}=240$，
∴a₈=16=a₁+7d，解方程組可得a₁=2，d=2，
∴a_n=2n，${S_n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}×n=\frac{2+2n}{2}×n=n（n+1）$；
（2）由（1）可得${b_n}=2×{3^n}$，∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=3$，
∴{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為6，公比為3，
∴${T_n}=\frac{{{b_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{6（1-{3^n}）}}{1-3}=3（{3^n}-1）={3^{n+1}}-3$

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬中檔題．