Question

15．角A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，函數(shù)f（x）=2sin（x-A）cosx+sin（B+C）（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{5π}{12}$對稱，則A=（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可知x=$\frac{5π}{12}$時，f（x）取得最值．可得A的值．

解答 解：由函數(shù)f（x）=2sin（x-A）cosx+sin（B+C）
=2sinxcosxcosA-2cos²xsinA+sinA=sin2xcosA-sinA（cos2x+1）+sinA=sin2xcosA-cos2xsinA
∵函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=$\frac{5π}{12}$對稱，
當x=$\frac{5π}{12}$時，f（x）=sin$\frac{5π}{6}$cosA-cos$\frac{5π}{6}$sinA=$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=sin（A+$\frac{π}{6}$）
若x=$\frac{5π}{12}$時，f（x）取得最小值，即$\frac{π}{6}+A=kπ-\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$．
若x=$\frac{5π}{12}$時，f（x）取得最大值，即$\frac{π}{6}+A=kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$．
綜上可得A=$\frac{π}{3}$．
故選D

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．