Question

16．如圖，圓錐的軸截面SAB是正三角形，O為底面中心，M為線段SO中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周），若AM⊥MP，則點(diǎn)P的軌跡為（　�。�

• A． 線段
• B． 圓
• C． 橢圓
• D． 拋物線

Answer 1

分析 設(shè)圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出向量坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦．

解答 解：設(shè)圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)A（0，-1，0），B（0，1，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），M（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（x，y，0）．
于是有$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MP}$=（x，y，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
由于AM⊥MP，所以（0，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）•（x，y，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=0，
即y=$\frac{3}{4}$，此為P點(diǎn)形成的軌跡是底面圓的弦．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查通過建立坐標(biāo)系，將求軌跡問題轉(zhuǎn)化為求軌跡方程、考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長(zhǎng)的求法．屬中檔題．