Question

已知橢圓的右準(zhǔn)線是x=1，傾斜角為交橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為
（I）求橢圓的方程；
（II）若P、Q是橢圓上滿足，若直線OP、OQ的斜率分別為k_OP，k_OQ，求證：|k_OP•k_OQ|是定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由于直線AB的傾斜角為且過點(diǎn)，可得直線的方程為．代入橢圓方程，整理得，由AB的中點(diǎn)為可得a²=2b²．結(jié)合可求a，b，c，進(jìn)而可求橢圓方程
（II）設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在橢圓2x²+4y²=1上，由=，代入可求
解答：解：（I）由于直線AB的傾斜角為且過點(diǎn)，
所以直線的方程為．
代入橢圓方程，整理得，，
即a²=2b²．
又，聯(lián)立a²=b²+c²，
求得．
所以橢圓方程為2x²+4y²=1．…（6分）
（II）設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在橢圓2x²+4y²=1上，
由==．…（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的性質(zhì)求解橢圓的方程，解題中要具備較強(qiáng)的計算能力與邏輯推理能力，主要考查了考試的計算能力．