Question

17．己知f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-$\sqrt{3}$sin4x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{16}$，$\frac{3π}{16}$]上的最小值及取最小值時對應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用查三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{16}$，$\frac{3π}{16}$]上的最小值及取最小值時對應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-$\sqrt{3}$sin4x=2（sin²x+cos²x）²-4sin²x•cos²x+cos²2x-$\sqrt{3}$sin4x
=2-sin²2x+cos²2x-$\sqrt{3}$sin4x=2+cos4x-$\sqrt{3}$sin4x=2+2cos（4x+$\frac{π}{3}$），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
（2）在區(qū)間[$\frac{π}{16}$，$\frac{3π}{16}$]上，4x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{7π}{12}$，$\frac{13π}{12}$]，故當(dāng)4x+$\frac{π}{3}$=π時，函數(shù)f（x）取得最小值為2-2=0，
此時，x=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的值域、定義域和值域，屬于中檔題．