Question

5、將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側(cè)面和底面分別叫為直角三棱錐的“直角面和斜面”；過(guò)三棱錐頂點(diǎn)及斜面任兩邊中點(diǎn)的截面均稱為斜面的“中面”．請(qǐng)仿照直角三角形以下性質(zhì)：
（1）斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊邊長(zhǎng)的一半；
（2）兩條直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊邊長(zhǎng)的平方；
（3）斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1．
寫(xiě)出直角三棱錐相應(yīng)性質(zhì)（至少一條）：

（1）斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一；（2）三個(gè)直角面面積的平方和等于斜面面積的平方（3）斜面與三個(gè)直角面所成二面角的余弦平方和等于1．

Answer 1

分析：本題考察的知識(shí)點(diǎn)是類(lèi)比推理，由平面圖形的性質(zhì)類(lèi)比猜想空間幾何體的性質(zhì)，一般的思路是：點(diǎn)到線，線到面，或是二維變?nèi)�維；由題目中直角三角形以下性質(zhì)：（1）斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊邊長(zhǎng)的一半（邊的性質(zhì)）；（2）兩條直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊邊長(zhǎng)的平方（邊的性質(zhì)）；（3）斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1（邊夾角的性質(zhì)）．我們可以類(lèi)比三棱錐中相應(yīng)面的性質(zhì)或二面角的性質(zhì)．

解答：解：由平面圖形的性質(zhì)類(lèi)比猜想空間幾何體的性質(zhì)，
一般的思路是：點(diǎn)到線，線到面，或是二維變?nèi)�維；
由題目中直角三角形以下性質(zhì)：
（1）斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊邊長(zhǎng)的一半（邊的性質(zhì)），
我們可以推斷三棱錐中，斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一（2）兩條直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊邊長(zhǎng)的平方（邊的性質(zhì)）；
我們可以推斷三棱錐中，三個(gè)直角面面積的平方和等于斜面面積的平方
（3）斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1（邊夾角的性質(zhì)）．
我們可以推斷三棱錐中，斜面與三個(gè)直角面所成二面角的余弦平方和等于1．
故答案為：（3）斜面與三個(gè)直角面所成二面角的余弦平方和等于1．

點(diǎn)評(píng)：類(lèi)比推理的一般步驟是：（1）找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；（2）用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．