Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，（m∈R），且滿足，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程，并說(shuō)明該方程所表示的軌跡的形狀；
（Ⅱ）若已知圓O：x²+y²=1，當(dāng)m=1時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作圓O的切線，切點(diǎn)為A、B，求向量的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，有M（x，y），欲求點(diǎn)M的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關(guān)系式，根據(jù)向量垂直利用向量間的關(guān)系求出M點(diǎn)的坐標(biāo)的方程即可得；
（Ⅱ）欲向量的最大值和最小值，先求出向量用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示的函數(shù)式，后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可求得．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴，
即mx²+2y²=8，（2分）
當(dāng)m=0時(shí)，2y²=8，解得y=±2，表示兩條與x軸平行的直線，
當(dāng)m＜0時(shí)，，表示中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，
當(dāng)m=2時(shí)，x²+y²=4，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，
當(dāng)m＞2時(shí)，，表示中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
當(dāng)0＜m＜2時(shí)，表示中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．（7分）（少一個(gè)扣一分）
（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，曲線C的方程為：，
設(shè)∠AOB=2α，則，．．（8分）
∵M(jìn)A與圓O相切于A，
∴在Rt△MAO中，，
即，．．（10分）
由，得x²=8-2y²，
∴，
∵0≤y²≤4，
∴當(dāng)y²=0時(shí)，取得最小值為，
當(dāng)y²=4時(shí)，取得最大值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題．求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．