Question

已知f（x）=（

x

+

2

）²（x≥0），又?jǐn)?shù)列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，這個數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式S_n（n∈N^*）對所有大于1的自然數(shù)n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=

an+12+an2

2an+1an

（n∈N^*），求證

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

Answer 1

分析：（1）由于已知條件給出的是S_n與S_n-1的函數(shù)關(guān)系，而要求的是a_n的通項(xiàng)公式，故關(guān)鍵是確定S_n．知道S_n后，能夠?qū)С鰯?shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=

an+12+an2

2an+1an

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，知b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-

1

2n+1

．從而能夠?qū)С?span id="hxfvzx7" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

解答：解：（1）∵f（x）=（

x

+

2

）²，
∴S_n=（

Sn-1

+

2

）²．
∴

Sn

-

Sn-1

=

2

．又

a1

=

2

，
故有

Sn

=

2

+（n-1）

2

=n

2

，
即S_n=2n²（n∈N^*）．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2；
當(dāng)n=1時，a₁=2，適合a_n=4n-2．
因此，a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）∵b_n=

an+12+an2

2an+1an

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-

1

2n+1

．
從而

lim

n→∞

（b₁+b₂++b_n-n）=

lim

n→∞

（1-

1

2n+1

）=1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的極限及其應(yīng)用，解題時要注意數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．