Question

11．已知數(shù)列{a_n}對任意的自然數(shù)n滿足：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ-1．
（Ⅰ）求a₁及通項a_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1可知a₁=1，當(dāng)n≥2時利用${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}={2^n}-1$與${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+（n-1）{a_{n-1}}={2^{n-1}}-1，\;（n≥2）$作差，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）可知$\frac{1}{a_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，進(jìn)而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）a₁=1，
∵${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}={2^n}-1$
∴${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+（n-1）{a_{n-1}}={2^{n-1}}-1，\;（n≥2）$
兩式相減，得：$n{a_n}={2^{n-1}}$，∴${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{n}$，（n≥2）；
又a₁=1適合上式，故：${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{n}$． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$\frac{1}{a_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
所以${S_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$=$2（1-\frac{1}{2^n}）-\frac{n}{2^n}$，
∴${S_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．  …（15分）

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．