Question

（本小題滿分16分）

已知函數(shù)，，其中m∈R．

（1）若0<m≤2，試判斷函數(shù)f (x)=f₁ (x)+f₂ (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（2）設函數(shù) 若對任意大于等于2的實數(shù)x₁，總存在唯一的小于2的實數(shù)x₂，使得g (x₁) = g (x₂) 成立，試確定實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（本小題滿分16分）

解：（1）f (x)為單調(diào)減函數(shù)．                          ………………………1分

證明：由0<m≤2，x≥2，可得

==．

       由 ，………………4分

且0<m≤2，x≥2，所以．從而函數(shù)f(x)為單調(diào)減函數(shù)．  ……………5分

（亦可先分別用定義法或?qū)��?shù)法論證函數(shù)在上單調(diào)遞減，再得函數(shù)f(x)為單調(diào)減函數(shù)．）

（2）①若m≤0，由x₁≥2，，

x₂＜2，，

所以g (x₁) = g (x₂)不成立．                      ………………………7分

②若m＞０，由x＞2時，，

所以g(x)在單調(diào)遞減．從而，即．

……………………9分

（a）若m≥2，由于x＜２時，，

所以g(x)在(－∞,2)上單調(diào)遞增，從而，即．

要使g (x₁) = g (x₂)成立，只需，即成立即可．

由于函數(shù)在的單調(diào)遞增，且h(4)=0，

所以2≤m＜4．                                ………………………12分

（b）若0＜m＜2，由于x＜2時，

所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

從而，即．

要使g (x₁) = g (x₂)成立，只需成立，即成立即可．

由0＜m＜2，得 ．

故當0＜m＜2時，恒成立．            ……………………15分

綜上所述，m為區(qū)間（0，4）上任意實數(shù)．        ………………………16分