Question

某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運輸貨物，運輸成本由燃料費用和其它費用組成，已知該貨輪每小時的燃料費用與其航行速度的平方成正比（比例系數為0.5），其它費用為每小時800元，且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時．
（Ⅰ）請將從甲地到乙地的運輸成本y（元）表示為航行速度x（海里/小時）的函數；
（Ⅱ）要使從甲地到乙地的運輸成本最少，該貨輪應以多大的航行速度行駛？

Answer 1

分析：（Ⅰ）從甲地到乙地的運輸成本y（元）=每小時的燃料費用×時間+每小時其它費用×時間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得函數表達式y(tǒng)=150(x+

1600

x

)，（且0＜x≤50）；用基本不等式可求得最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，每小時的燃料費用為：0.5x²（0＜x≤50），從甲地到乙地所用的時間為

300

x

小時，
          則從甲地到乙地的運輸成本：y=0.5x2•

300

x

+800•

300

x

，（0＜x≤50）
          故所求的函數為：y=0.5x2•

300

x

+800•

300

x

=150(x+

1600

x

)，（0＜x≤50）．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，y=150(x+

1600

x

)≥150×2

x× 1600 x

=12000，
      當且僅當 x=

1600

x

，即x=40時取等號．
     故當貨輪航行速度為40海里/小時時，能使該貨輪運輸成本最少．

點評：本題考查了由函數模型建立目標函數，利用基本不等式求函數最值的問題，屬于中檔題．