Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，點（a_n•a_n+1）在直線y=2x+1上，數列{b_n}滿足b1=a1，

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

(n≥2).
（1）求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（2）求證：(1+b1)(1+b2)•…•(1+bn)＜

10

3

b1b2•…•bn(n∈Nh*).

Answer 1

分析：（1）把點（a_n•a_n+1）代入直線方程求得數列的遞推式，整理得a_n+1+1=2（a_n+1），判斷出{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，進而根據等比數列的通項公式求得a_n．同時根據

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+••+

1

an-1

(n≥2)求得

bn+1

an+1

=

1

a1

+

1

a2

+••+

1

an-1

+

1

an

，進而判斷出

bn+1

an+1

=

bn

an

+

1

an

整理得b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0，進而看當n=1時b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3．，綜合可得答案．
（2）根據（1）可知

bn+1

bn+1

=

an

an+1

(n≥2)進而求得(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)••(1+

1

bn

)=2(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)，先看當k≥2時求得

1

ak

-

1

2k-1

=

2k+1-1

(2k-1)(2k+1-1)

＜

2k+1

(2k-1)(2k+1-1)

，進而可知(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)••(1+bn)＜

10

3

b1b2••bn.進而再看n=1時不等式也成立．原式得證．

解答：解：（1）∵點（a_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，∴a_n+1=2a_n+1∴a_n+1+1=2（a_n+1），
即（a_n+1）是以2為首項，2為公比的等比數列∴a_n=2ⁿ-1
又

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

(n≥2)
∴

bn+1

an+1

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

∴

bn+1

an+1

=

bn

an

+

1

an

∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0（n≥2）
當n=1時，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3
則b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3．

（2）由（1）知

bn+1

bn+1

=

an

an+1

(n≥2)，b2=a2
∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)••(1+

1

bn

)=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

••

bn+1

bn

=

1

b1

•

b1+1

b2

•

b2+1

b3

••

bn-1

bn

•

bn+1

bn+1

•bn+1=

1

b1

•

b1+1

b2

•

a2

a3

•

a3

a4

••

an-1

an

•

an

an+1

•bn+1=2•

bn+1

an+1

=2(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)．
∵k≥2時，

1

ak

-

1

2k-1

=

2k+1-1

(2k-1)(2k+1-1)

＜

2k+1

(2k-1)(2k+1-1)

=2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1+

1

3

+••+

1

2n-1

＜1+2[(

1

22-1

-

1

23-1

)+••+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=1+2(

1

3

-

1

2n+1-1

)＜

5

3

∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)••(1+bn)＜

10

3

b1b2••bn.
另證：當n≥2時2^n-2≥1（僅當n=2取等號）
∴2ⁿ-1≥3•2^n-2，即

1

an

-

1

2n-1

≤

1

3

•

1

2n-2

(n≥2)
∴當n≥2時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤1+

1

3

(1+

1

2

+…+

1

2n-2

)=1+

1

3

•

1- 1 2n-1

1- 1 2

=

5

3

-

1

2n-2

＜

5

3

而n=1顯然成立
∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)••(1+

1

bn

)＜

10

3

即(1+b1)(1+b2)••(1+bn)＜

10

3

b1b2••bn.

點評：本題主要考查了不等式和數列的綜合，數列通項公式的確定，考查了學生綜合運用不等式和數列知識解決問題的能力．