Question

對(duì)任何函數(shù)f（x），x∈D，可按圖示構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：①輸入數(shù)據(jù)x₀∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x₁=f（x₀）；②若x₁∉D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f（x₁），并依此規(guī)律繼續(xù)下去．現(xiàn)定義
（Ⅰ）若輸入，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)；
（Ⅱ）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值；
（Ⅲ）若輸入x₀時(shí)，產(chǎn)生的無(wú)窮數(shù)列{x_n}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，均有x_n＜x_n+1，求x₀的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），所以數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)．
（Ⅱ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21230.png' />，即x²-3x+2=0，所以x=1或x=2，即x₀=1或x₀=2時(shí)，
故當(dāng)x₀=1時(shí)，x_n=1；當(dāng)x₀=2時(shí)，x_n=2（n∈N^*）．
（Ⅲ）解不等式，得x＜-1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2．
對(duì)于函數(shù)，
若x₁＜-1，則x₂=f（x₁）＞4，x₃=f（x₂）＜x₂．
當(dāng)1＜x₁＜2時(shí)，x₂=f（x₁）＞x₁，且1＜x₂＜2．依此類推可得數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)均滿足x_n+1＞x_n（n∈N）．
綜上所述，x₁∈（1，2），由x₁=f（x₀），得x₀∈（1，2）．
分析：（Ⅰ）利用，及工作原理，注意函數(shù)的定義域，直接可求得數(shù)列{x_n}的只有三項(xiàng)；
（Ⅱ）要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，則有，從而求出相應(yīng)的初始數(shù)據(jù)x₀的值；
（Ⅲ）要使對(duì)任意正整數(shù)n，均有x_n＜x_n+1，則必須，得x＜-1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2，再分別進(jìn)行驗(yàn)證．
點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與算法的簡(jiǎn)單結(jié)合，應(yīng)搞清算法原理，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，有一定的難度．