Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{a_n}{2^n}={n^2}$+n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{{{{（-1）}^n}{a_n}}}{2}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)列遞推關(guān)系即可得出．
（II）利用錯位相減法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{a_n}{2^n}={n^2}+n$…①，
∴當n≥2時，$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}={（n-1）^2}+n-1$②
①-②得$\frac{a_n}{2^n}=2n（n≥2）$，∴${a_n}=n{2^{n+1}}（n≥2）$．…（5分）
又∵當n=1時，$\frac{a_1}{2}=1+1$，∴a₁=4，∴${a_n}=n{2^{n+1}}$．…（6分）
（Ⅱ）${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}{a_n}}}{2}=n{（-2）^n}$，${S_n}=1×{（-2）^1}+2×{（-2）^2}+3×{（-2）^3}+…+n×{（-2）^n}$…③
$（-2）{S_n}=1×{（-2）^2}+2×{（-2）^3}+3×{（-2）^4}+…+（n-1）×{（-2）^n}+n{（-2）^{n+1}}$…④
∴$3{S_n}=（-2）+{（-2）^2}+{（-2）^3}+{（-2）^4}+…+{（-2）^n}-n{（-2）^{n+1}}=\frac{{-2[1-{{（-2）}^n}]}}{3}-n{（-2）^{n+1}}$
∴${S_n}=-\frac{{（3n+1）{{（-2）}^{n+1}}+2}}{9}$．…（12分）

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．