Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f（x）=sinx是否屬于集合M？說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=lg

2k

x2+1

∈M，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）若函數(shù)f（x）=2^x+x²，證明 f（x）∈M．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，只要sin（x₀+1）=sinx₀+sin1成立即可，由解析式列出方程，再由特殊角的正弦值進(jìn)行證明；
（2）把解析式代入f（x+1）=f（x）+f（1），列出對(duì)應(yīng)的方程，再由一元二次方程有解的條件求出k的范圍，注意二次系數(shù)是否為零；
（3）根據(jù)定義只要證明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性判定理進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）由題意知f（x）=sinx，要f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），即需sin（x₀+1）=sinx₀+sin1
顯然當(dāng)x₀=0時(shí)等式成立，即f（x）=sinx∈M．
（2）∵函數(shù)f（x）=lg

2k

x2+1

∈M，∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，即lg

2k

(x+1)2+1

=lg

2k

x2+1

+lg

2k

2

lg

2k

(x+1)2+1

=lg

2k

x2+1

•

2k

2

2k

(x+1)2+1

=

2k

x2+1

•

2k

2

，
∴x²+1=k（x²+2x+2），∴（k-1）x²+2kx+2k-1=0有解，
①k=1時(shí)，x=-

1

2

有解，符合；
②k≠1時(shí)，△=4k²-4（k-1）（2k-1）≥0，∴

3- 5

2

≤k≤

3+ 5

2

，k≠1，
綜上：

3- 5

2

≤k≤

3+ 5

2

．
（3）∵函數(shù)f（x）=2^x+x²∈M，要證f（x）∈M，
∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，∴2^x+1+（x+1）²=2^x+x²+3有解，即2^x+2x-2=0有解，
設(shè)h（x）=2^x+2x-2，∵h(yuǎn)（0）=-1，h（1）=2，
根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性判定理得，存在x₀∈（0，1），h（x₀）=0，
即f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，∴f（x）∈M．

點(diǎn)評(píng)：本題題意新穎，主要利用新定義進(jìn)行運(yùn)算，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)存在性判定理的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)、難度大．