已知曲線C:y=x2與直線l:x-y+2=0交于兩點A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA<xB.記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.設點P(s,t)是L上的任一點,且點P與點A和點B均不重合.
(1)若點Q是線段AB的中點,試求線段PQ的中點M的軌跡方程;
(2)若曲線G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0與D有公共點,試求a的最小值.
【答案】分析:(1)欲求線段PQ的中點M的軌跡方程,設線段PQ的中點M坐標為(x,y),即要求x,y間的關系式,先利用x,y列出點P(s,t)的坐標結合點P在曲線C上即得;
(2)處理圓與D有無公共點的問題,須分兩種情形討論:當時和當a<0時.對于后一種情形,只須只需考慮圓心E到直線l:x-y+2=0的距離即可,從而求得求a的最小值.
解答:解:(1)聯(lián)立y=x2與y=x+2得xA=-1,xB=2,則AB中點,設線段PQ的中點M坐標為(x,y),則,即,又點P在曲線C上,
化簡可得
又點P是L上的任一點,且不與點A和點B重合,
,即,
∴中點M的軌跡方程為).
(2)曲線G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0,
即圓E:,其圓心坐標為E(a,2),半徑
由圖可知,當時,曲線G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0與點D有公共點;
當a<0時,要使曲線G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0與點D有公共點,
只需圓心E到直線l:x-y+2=0的距離
,
,則a的最小值為
點評:本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、軌跡方程、拋物線方程、圓的方程等基礎知識,考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(Ⅰ) 求a2與an
(Ⅱ) 求Sn,并證明Sn
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