Question

（2009•南匯區(qū)二模）三位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

（x∈R） 時(shí)，分別給出下面三個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)?nbsp;（-1，1）
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則fn(x)=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N^*恒成立．
你認(rèn)為上述三個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有

3

．

Answer 1

分析：函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

化為分段函數(shù)即函數(shù)f(x)=

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

∵f（-x）=-f（x）∴函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

為奇函數(shù)，從而判斷函數(shù)當(dāng)x≥0時(shí)的性質(zhì)即可，由值域和單調(diào)性可得①②正確，③的正確性可用數(shù)學(xué)歸納法證明

解答：解：函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

化為分段函數(shù)即函數(shù)f(x)=

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

∵f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

為奇函數(shù)，
∵x≥0時(shí)，f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1）
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?nbsp;（-1，1），故①正確
∵x≥0時(shí)，f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

為[0，+∞）的單調(diào)增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，
∴若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故②正確
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明③正確
證明：n=1時(shí)，命題顯然成立；
假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即fk(x)=

x

1+k|x|

則n=k+1時(shí)，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

fk(x)

1+k|fk(x)|

=

x 1+k|x|

1+k| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

即n=k+1時(shí)命題成立
∴fn(x)=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N^*恒成立
故答案為3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域的求法，函數(shù)單調(diào)性的定義及判斷方法，函數(shù)與數(shù)列的綜合，解題時(shí)要緊緊抓住函數(shù)的奇偶性解決問(wèn)題