Question

已知f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程；
（Ⅱ）若a≠0 求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，斜率k，k=f′（1），用點(diǎn)斜式即可求出方程；
（Ⅱ）解含參的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅲ）分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域．
解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x³+x²-x+2，
∴f′（x）=3x²+2x-1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．
∴所求切線方程為y-3=4（x-1），即4x-y-1=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）由f′（x）=0，得x=-a或x=．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＜0，得-a＜x＜；由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞，
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-a，），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a）和（，+∞）．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＜0，得；由f′（x）＞0，得x＜或x＞-a．
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，-a），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，）和（-a，+∞）．
綜上：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-a，），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a）和（，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，-a），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，）和（-a，+∞）．
（Ⅲ）依題意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，
等價(jià)于2xlnx≤3x²+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx-x-在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=lnx--，則h′（x）=-+=-．
令h′（x）=0，得x=1，x=-（舍），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，
當(dāng)x變化時(shí)，h′（x），h（x）變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+		-
h（x）	單調(diào)遞增	-2	單調(diào)遞減

∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2．
∴a的取值范圍是[-2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問題，不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．