Question

已知函數(shù)f（x）在R上有定義，對任何實數(shù)a＞0和任何實數(shù)x，都有f（ax）=af（x）
（Ⅰ）證明f（0）=0；
（Ⅱ）證明f(x)=

kx x≥0 hx x＜0

其中k和h均為常數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)（Ⅱ）中的k＞0時，設(shè)g（x）=

1

f(x)

+f（x）（x＞0），討論g（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值．

Answer 1

分析：（1）令x=0代入即可得到答案．
（2）分別令a=x和a=-x代入整理即可得到答案．
（3）先表示出函數(shù)g（x），然后對其進(jìn)行求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)大于0時單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時單調(diào)遞減，導(dǎo)數(shù)等于0時函數(shù)取到極值點．

解答：證明（Ⅰ）令x=0，則f（0）=af（0），
∵a＞0，
∴f（0）=0．

（Ⅱ）①令x=a，
∵a＞0，
∴x＞0，則f（x²）=xf（x）．
假設(shè)x≥0時，f（x）=kx（k∈R），則f（x²）=kx²，而xf（x）=x•kx=kx²，
∴f（x²）=xf（x），即f（x）=kx成立．
②令x=-a，
∵a＞0，
∴x＜0，f（-x²）=-xf（x）
假設(shè)x＜0時，f（x）=hx（h∈R），則f（-x²）=-hx²，而-xf（x）=-x•hx=-hx²，
∴f（-x²）=-xf（x），即f（x）=hx成立．
∴f(x)=

kx，x≥0 hx，x＜0

成立．
（Ⅲ）當(dāng)x＞0時，g(x)=

1

f(x)

+f(x)=

1

kx

+kx，g′(x)=-

1

kx2

+k=

k2x2-1

kx2

令g'（x）=0，得x=

1

k

或x=-

1

k

；
當(dāng)x∈（0，

1

k

）時，g'（x）＜0，∴g（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈[

1

k

，+∞）時，g'（x）＞0，∴g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)；
所以當(dāng)x=

1

k

時，函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)取得極小值，極小值為g(

1

k

)=2

點評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)問題，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于0時函數(shù)取極值點．