Question

20．已知正數x，y滿足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，若x+y+a＞0恒成立，則實數a的取值范圍是（-3-2$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 x+y+a＞0恒成立?-a＜（x+y）_min，利用基本不等式可求得（x+y）_min=3+2$\sqrt{2}$，從而可得實數a的取值范圍．

解答 解：∵x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，
∴x+y+a＞0恒成立?-a＜（x+y）_min，
∵x+y=（x+y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$
（當且僅當x=2+$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$+1時取“=”），
∴（x+y）_min=3+2$\sqrt{2}$，
∴-a＜3+2$\sqrt{2}$，
∴a＞-3-2$\sqrt{2}$．
故答案為：（-3-2$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查等價轉化思想與基本不等式的應用，分離參數a后求得（x+y）_min=3+2$\sqrt{2}$是關鍵，屬于中檔題．