Question

19．已知橢圓C$：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，點(diǎn)$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上．直線l過點(diǎn)（1，1），且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求出此時直線l的方程，若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，可得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}+^{2}=c^2}\end{array}\right.$，解得a²與b²的值，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，分2種情況討論，（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時，分析可得直線l的方程為x=1滿足題意；（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l為y=kx+m，分析A、B、M的坐標(biāo)，將y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而由四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分可得P的坐標(biāo)，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得$\frac{{{{（-\frac{8km}{{4{k^2}+1}}）}^2}}}{4}+{（\frac{2m}{{4{k^2}+1}}）^2}=1$，進(jìn)而分析可得$\frac{{（16{k^2}+4）{{（1-k）}^2}}}{{{{（4{k^2}+1）}^2}}}=1$，解可得k、m的值，即可得答案．

解答 解：（I）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}+^{2}=c^2}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1．
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…..（5分）
（Ⅱ）四邊形OAPB能為平行四邊形，分2種情況討論：
（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1滿足題意；
（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l：y=kx+m，顯然k≠0，m≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M）．
將y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，$△={（8km）^2}-4（4{k^2}+1）（4{m^2}-4）＞0，{x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}$．
故${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{4km}{{4{k^2}+1}}$，${y_M}=k{x_M}+m=\frac{m}{{4{k^2}+1}}$．
四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即$\left\{\begin{array}{l}{x_P}=2{x_M}\\{y_P}=2{y_M}.\end{array}\right.$．
則$\frac{{{{（-\frac{8km}{{4{k^2}+1}}）}^2}}}{4}+{（\frac{2m}{{4{k^2}+1}}）^2}=1$．
由直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），過點(diǎn)（1，1），得m=1-k．
則$\frac{{（16{k^2}+4）{{（1-k）}^2}}}{{{{（4{k^2}+1）}^2}}}=1$，
則（4k²+1）（8k-3）=0．
則$k=\frac{3}{8}，m=\frac{5}{8}$．滿足△＞0．
所以直線l的方程為$y=\frac{3}{8}x+\frac{5}{8}$時，四邊形OAPB為平行四邊形．
綜上所述：直線l的方程為$y=\frac{3}{8}x+\frac{5}{8}$或x=1．…..（13分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系與方程的綜合運(yùn)用，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系時，需要考慮直線斜率不存在的情況．