Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)(-

3

 ， 0)，(

3

， 0)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，直線l過(guò)點(diǎn)E（-1，0）且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(-

3

 ， 0)，(

3

， 0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（2）存在△AOB面積的最大值．由直線l過(guò)點(diǎn)E（-1，0），設(shè)直線l的方程為 x=my-1，由

x2 4 +y2=1 x=my-1.

，得（m²+4）y²-2my-3=0．由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．解得y1=

m+2 m2+3

m2+4

，由此能求出S_△AOB的最大值．

解答：（共13分）
解：（1）由橢圓定義可知，
點(diǎn)P的軌跡C是以(-

3

 ， 0)，(

3

， 0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓．…（3分）
故曲線C的方程為

x2

4

+y2=1． …（5分）
（2）存在△AOB面積的最大值．…（6分）
因?yàn)橹本�l過(guò)點(diǎn)E（-1，0），設(shè)直線l的方程為 x=my-1或y=0（舍）．
則

x2 4 +y2=1 x=my-1.

整理得 （m²+4）y²-2my-3=0．…（7分）
由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解得y1=

m+2 m2+3

m2+4

，y2=

m-2 m2+3

m2+4

．
則 |y2-y1|=

4 m2+3

m2+4

．
因?yàn)?span id="bg69fsa" class="MathJye">S△AOB=

1

2

|OE|•|y1-y2|
=

2 m2+3

m2+4

=

2

m2+3 + 1 m2+3

． …（10分）
設(shè)g(t)=t+

1

t

，t=

m2+3

，t≥

3

．
則g（t）在區(qū)間[

3

，+∞)上為增函數(shù)．
所以g(t)≥

4 3

3

．
所以S△AOB≤

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)，即(S△AOB)max=

3

2

．
所以S_△AOB的最大值為

3

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的軌跡方程的求法，考查三角形的面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．