Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，短軸長為2．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），是橢圓上的兩點，向量

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，且

m

.

n

=0，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用離心率e=

3

2

，短軸長為2求出a，b，c即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，聯(lián)立直線方程和橢圓的方程整理后求出A，B的坐標(biāo)與k，b的關(guān)系；再結(jié)合

m

.

n

=0求出對應(yīng)結(jié)論，代入△AOB的面積計算公式，整理后即可得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：2b=2，b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

則a=2，c=

3

所以橢圓的方程為

y2

4

+x2=1
（Ⅱ）因為x₁≠x₂，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b

y=kx+b y2 4 +x2=1

?(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0，
則△=4k²b²-4（k²+4）（b²-4）＞0且x1+x2=

-2kb

k2+4

，x1x2=

b2-4

k2+4

∵

m

.

n

=0
∴4x₁x₂+y₁y₂=0即4x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=0
代入整理得：2b²-k²=4
∴S=

1

2

|b|

1+k2

|AB|=

1

2

|b|

(x1+x2)2-4x1x2

=

|b| 4k2-4b2+16

k2+4

=

4b2

2|b|

=1

∴△AOB的面積為定值1

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題以及向量知識的運用．本題是圓錐曲線題目中的常考題，解決第二問的關(guān)鍵在于把直線方程和橢圓的方程利用其對應(yīng)結(jié)論，這也是這一類題目的常用做法．