Question

已知集合A={（x，y）|x=n，y=na+b，n∈Z}，B={（x，y）|x=m，y=3m²+12，m∈Z}．若存在實(shí)數(shù)a，b使得A∩B≠∅成立，稱點(diǎn)（a，b）為“￡”點(diǎn)，則“￡”點(diǎn)在平面區(qū)域C={（x，y）|x²+y²≤108}內(nèi)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．無數(shù)個(gè)

Answer 1

【答案】分析：集合A，B都是不連續(xù)的點(diǎn)集．“存在實(shí)數(shù)a，b使得A∩B≠∅成立”的含義就是“存在實(shí)數(shù)a，b使得na+b=3n²+12（n∈Z）有解”，（A∩B時(shí)x=n=m），再抓住主參數(shù)a，b，則此問題的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)（a，b）在直線l：na+b=3n²+12上，且與圓x²+y²=108相交或在內(nèi)部．
解答：解：由A∩B≠∅得，na+b=3n²+12，（A∩B時(shí)x=n=m），
對(duì)于任意的整數(shù)n，動(dòng)點(diǎn)（a，b）的集合是直線l：na+b=3n²+12，
由于圓x²+y²=108的圓心到直線l的距離d==3（+）≥6．
∵n為整數(shù)，∴上式不能取等號(hào)，所以直線和圓相離．
所以兩者無有公共點(diǎn)．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題將集合轉(zhuǎn)化為曲線，用集合的方法研究，利用了數(shù)形結(jié)合的思想．