Question

過拋物線x²=2px（p＞0）的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，O為坐標原點．
（I）證明：△ABO是鈍角三角形；
（II）求△ABO面積的最小值；
（III）過點A作拋物線的切線交y軸于點C，求線段AC中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證△ABO是鈍角三角形，只需證明∠AOB的余弦值小于0即可．設出A，B點坐標，以及直線AB的方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求x₁x₂，y₁y₂的，用向量的坐標公式求，再代入向量的夾角公式，求出∠AOB的余弦值，再判斷正負即可．
（II）y軸把△ABO分成了兩個三角形，分別是△AFO和△BFO，所以S_△ABO=s_△AFO+S_△BFO=，再把（I）中求出的x₁x₂，x₁+x₂的值代入，就可用含k的式子表示S_△ABO，再求最值即可．
（III）先設出過點A的拋物線的切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用△=0，求出k，再帶回切線方程，求C點坐標，這樣就可找到AC中點的坐標，進而求出中點M的軌跡方程．
解答：解：（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程
由，得x²-2pkx-p²=0
∴
∴•=
∴
∴∠AOB為鈍角，△ABO為鈍角三角形
（II）由（I）x₁x₂=-p2，x₁+x₂=2pk
∴==當k=0時取等號
∴△ABO面積的最小值是
（III）設過點A的切線方程為y=k（x-x₁）+y₁由得
x²-2pkx+2pkx₁-2py₁=0令△=4p²k²-4（2pkx₁-2py₁）=0解得
∴切線方程為令x=0，得
∴線段AC中點M為（x，0）
∴點M的軌跡方程為y=0（x≠0）
點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，屬于圓錐曲線的常規(guī)題，做題時要認真分析，找到正確解答．