Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a為常數(shù)）是R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）討論函數(shù)y=

lnx

f(x)

-x2+2ex-m的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)在全體實(shí)數(shù)上有定義，函數(shù)又是一個(gè)奇函數(shù)，得到函數(shù)在自變量0的取值是0，寫出關(guān)于a的方程，解方程即可．
（2）把函數(shù)變化為兩個(gè)基本函數(shù)，對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的整理，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于零，得到函數(shù)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，利用函數(shù)的最值進(jìn)行比較得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a為常數(shù)）是R上的奇函數(shù)
∴滿足f（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+a）=0，
∴a=0
可以驗(yàn)證當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)．

（2）由已知得：

lnx

f(x)

=

lnx

x

=x2-2ex+m
令f1(x)=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m
∴f1′(x)=

1-lnx

x2

當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f₁^′（x）≥0
∴f₁（x）在（0，e）上是一個(gè)增函數(shù)；
當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，
f^′₁（x）在[e，+∞）上為減函數(shù)．
當(dāng)x=e時(shí)，f₁（x）的最大值是

1

e

而f₂（x）=（x-e）²+m-e²
∴當(dāng)m-e²＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

時(shí)，方程無解；
當(dāng)m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

時(shí)，方程有一個(gè)根；
當(dāng)m-e2＜

1

e

時(shí)，m＜e2+

1

e

時(shí)，方程有兩個(gè)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷方法，考查函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，考查利用最值進(jìn)行比較，得到函數(shù)的有無解的情況，本題是一個(gè)綜合題目．