已知函數(shù)f(x)=2x+1定義在R上.
(1)若f(x)可以表示為一個(gè)偶函數(shù)g(x)與一個(gè)奇函數(shù)h(x)之和,求函數(shù)g(x),h(x)的解析式;
(2)若F(x)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R),設(shè)h(x)=t,把F(x)表示為t的函數(shù)p(t);
(3)若關(guān)于的方程F(x)=m2-m+2在x∈[1,2]上有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(1)假設(shè)f(x)=g(x)+h(x)①,其中g(shù)(x)偶函數(shù),h(x)為奇函數(shù),
則有f(-x)=g(-x)+h(-x),即f(-x)=g(x)-h(x)②,
由①、②解得g(x)=
f(x)+f(-x)
2
h(x)=
f(x)-f(-x)
2
.(2分)
∵f(x)定義在R上,∴g(x),h(x)都定義在R上.
g(-x)=
f(-x)+f(x)
2
=g(x)
,h(-x)=
f(-x)-f(x)
2
=-h(x)

∴g(x)是偶函數(shù),h(x)是奇函數(shù),
把f(x)=2x+1代入求得,g(x)=
f(x)+f(-x)
2
=
2x+1+2-x+1
2
=2x+
1
2x
,h(x)=
f(x)-f(-x)
2
=
2x+1-2-x+1
2
=2x-
1
2x
.(6分)
(2)由2x-
1
2x
=t
,則t∈R,平方得t2=(2x-
1
2x
)2=22x+
1
22x
-2
,
g(2x)=22x+
1
22x
=t2+2
,代入F(x)的解析式得,
p(t)=t2+2mt+m2-m+1.(10分)
(3)∵t=h(x)=2x-
1
2x
在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,∴
3
2
≤t≤
15
4
.(12分)
由F(x)=m2-m+2得t2+2mt-1=0
m=
1
2
(
1
t
-t)
,令?(t)=
1
2
(
1
t
-t)(t∈[
3
2
,
15
4
])

由題意得,m的取值范圍就是函數(shù)?(t)的值域.(14分)
1
t
,-t
t∈[
3
2
15
4
]
上均為減函數(shù),
故?(t)在t∈[
3
2
15
4
]
上單調(diào)遞減,而?(
3
2
)=-
5
12
?(
15
4
)=-
209
120
,
∴函數(shù)?(t)的值域?yàn)?span mathtag="math" >[-
209
120
,-
5
12
]
即m的取值范圍為[-
209
120
,-
5
12
]
(16分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2+log0.5x(x>1),則f(x)的反函數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1
(1)m為何值時(shí),函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn),求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•上海)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=0,求a2,a3,a4;
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=2|x-2|-x+5,若函數(shù)f(x)的最小值為m
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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