Question

已知f（x）為R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂時(shí)，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

• A、f（3）=0
• B、直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸
• C、函數(shù)y=f（x）在[-9，9]上有四個(gè)零點(diǎn)
• D、函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為增函數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：依據(jù)函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性與周期性對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．

解答： 解：對(duì)于A：∵y=f（x）為R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴令x=-3得：f（6-3）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，故A正確；
對(duì)于B：∵函數(shù)y=f（x）是以6為周期的偶函數(shù)，
∴f（-6+x）=f（x），f（-6-x）=f（x），
∴f（-6+x）=f（-6-x），
∴y=f（x）圖象關(guān)于x=-6對(duì)稱，即B正確；
對(duì)于C：∵y=f（x）在區(qū)間[-3，0]上為減函數(shù)，在區(qū)間[0，3]上為增函數(shù)，且f（3）=f（-3）=0，
∴方程f（x）=0在[-3，3]上有2個(gè)實(shí)根（-3和3），又函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，
∴方程f（x）=0在區(qū)間[-9，-3）上有1個(gè)實(shí)根（為-9），在區(qū)間（3，9]上有一個(gè)實(shí)根（為9），
∴方程f（x）=0在[-9，9]上有4個(gè)實(shí)根．故C正確；
對(duì)于D：∵當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時(shí)，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴y=f（x）在區(qū)間[0，3]上為增函數(shù)，又函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，
∴y=f（x）在區(qū)間[-3，0]上為減函數(shù)，又函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，
∴y=f（x）在區(qū)間[-9，-6]上為減函數(shù)，故D錯(cuò)誤．
綜上所述，命題中正確的有A、B、C．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，命題真假的判斷，著重考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性、單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．