Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求滿足S_n＜167的最大正整數(shù)n．

Answer 1

解：（ I）∵S_n=2a_n-2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1
∵a_n≠0，∴（n≥2），即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
∵S_n=2a_n-2，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，∴ …（3分）
∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上
∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2
即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁=1，∴b_n=2n-1 …（6分）
（ II）S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ ①（7分）
∴2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-1）×2ⁿ⁺¹②
①-②得：-S_n=1×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹②…（9分）
∴（10分）
∵S_n＜167，即（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6＜167
于是（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜161（11分）
又由于當(dāng)n=4時(shí)，（2n-3）•2ⁿ⁺¹=160
當(dāng)n=5時(shí)，（2n-3）•2ⁿ⁺¹=448（13分）
故滿足條件S_n＜167最大的正整數(shù)n為4（14分）
分析：（ I）根據(jù)S_n=2a_n-2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；利用點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，可得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，故可求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（ II）利用錯(cuò)位相減法求和，利用S_n＜167，建立不等式，從而可求滿足條件S_n＜167最大的正整數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．