Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=，AD=BD，EC丄底面ABCD，F(xiàn)D丄底面ABCD 且有EC=FD=2．
（I ）求證：AD丄BF；
（II ）若線段EC上一點M在平面BDF上的射影恰好是BF的中點N，試求二面角 B-MF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BDC=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABD=45°，又AD=DB，從而得到∠ADB=90°，可得AD⊥DB；由線面垂直的性質(zhì)可得FD⊥DB，利用線面垂直的判定定理可得AD⊥平面FDB，即可得到線線垂直；
（II）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．
解答：（Ⅰ）證明：∵∠BCD=90°，BC=CD=，∴，∠BDC=45°
又由AB∥DC，可知∠ABD=∠BDC=45°，
∵AD=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB．
∵FD丄底面ABCD，∴FD⊥DB．
又FD∩DB=D，∴AD⊥平面FBD，
∴AD⊥BF．
（Ⅱ）解：如圖，以點C為原點，直線CD、CB、CE方向為x、y、z軸建系．
可得D，，，，．
又∵N恰好為BF的中點，∴，，．
設(shè)M（0，0，z），∴．
又∵，，可得z=1．
∴M（0，0，1），故M為線段CE的中點．
設(shè)平面BMF的一個法向量，且=，
，由，可得，
令y=1，則x=0，z=．得．
又∵平面MFC的一個法向量為，
∴==．
故所求二面角B-MF-C的余弦值為．
點評：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、線線垂直、通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角是解題的關(guān)鍵．