Question

若點(diǎn)（1，2）在y=

ax+b

的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，則a=

 

，b=

 

．

Answer 1

分析：本題考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系、求反函數(shù)的方法、解方程組等知識(shí)和方法；根據(jù)點(diǎn)（1，2）在y=

ax+b

的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，可以有兩種方法求解：
一是求出反函數(shù)，將點(diǎn)（1，2）分別代入原函數(shù)和反函數(shù)的方程，構(gòu)建方程組解得；
另一種是利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱這一特點(diǎn)，不求反函數(shù)，直接將點(diǎn)（1，2）和關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)（2，1）分別代入原函數(shù)解析式構(gòu)建方程組獲得．

解答：解：法一：由已知得：

a+b

=2，即a+b=4，
又由y=

ax+b

解x得：x=

1

a

(y2-b)，
則y=

ax+b

的反函數(shù)為y=

1

a

(x2-b)，
∵點(diǎn)（1，2）在反函數(shù)的圖象上
∴2=

1

a

(1 -b)
與a+b=4聯(lián)立解得：a=-3，b=7，
法二：由已知點(diǎn)（1，2）在y=

ax+b

的圖象上
則

a+b

=2，即a+b=4，
又∵互為反函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱
∴點(diǎn)（2，1）也在函數(shù)y=

ax+b

的圖象上
由此得：

2a+b

=1，即：2a+b=1，
將此與a+b=4聯(lián)立解得：a=-3，b=7，
答案：
a=-3，b=7，

點(diǎn)評(píng)：本題方法二的解答，巧妙的利用了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，將點(diǎn)（1，2）和該點(diǎn)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)（2，1）分別代入原函數(shù)解析式構(gòu)建方程組，過(guò)程簡(jiǎn)捷，計(jì)算簡(jiǎn)單，回避了求反函數(shù)的過(guò)程．這要比求出反函數(shù)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方便得多，值得借鑒．