Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-a_n+1（n∈N₊），則m=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2008}}$的整數(shù)部分是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-a_n+1（n∈N₊），可得：a_n+1-1=a_n（a_n-1），可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$.$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．于是m=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2008}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2009}-1}$=2-$\frac{1}{{a}_{2009}-1}$，再利用數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，即可得出．

解答 解：由a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-a_n+1（n∈N₊），可得：a_n+1-1=a_n（a_n-1），∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．
∴m=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2008}}$=$（\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2}-1}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}-1}-\frac{1}{{a}_{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{2008}-1}-\frac{1}{{a}_{2009}-1}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2009}-1}$=2-$\frac{1}{{a}_{2009}-1}$，
∵a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-a_n+1，∴a_n+1-a_n=$（{a}_{n}-1）^{2}$＞0，∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
又a₂=$\frac{7}{4}$，a₃=$\frac{49}{16}$-$\frac{7}{4}$+1=$\frac{37}{16}$＞2，∴n≥3時，$\frac{1}{{a}_{n}-1}$∈（0，1）．
∴m的整數(shù)部分是1．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．