Question

3．動直線l：（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0過定點P，則點P的坐標為（0，-6），若直線l與x軸的正半軸有公共點，則λ的取值范圍是{λ|λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$}．

Answer 1

分析 由題意（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0得（其中λ∈R），由此可得方程組，從而可求定點的坐標；分類討論，即可得到λ的取值范圍．

解答 解：由（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0得：λ（3x-y-6）+（x+y+6）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x+y+6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-6}\end{array}\right.$，即直線恒過定點P（0，-6）；
由（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0，
當λ=1時，即x=0，不滿足題意，
當λ≠1時，當y=0時，（3λ+1）x+6-6λ=0，
若λ=-$\frac{1}{3}$，此時無解，
若λ≠-$\frac{1}{3}$，
則x=$\frac{6λ-6}{3λ+1}$，
由直線l與x軸的正半軸有公共點，
∴$\frac{6λ-6}{3λ+1}$＞0，
即（λ-1）（x+$\frac{1}{3}$）＞0，
解得λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$，
綜上所述λ的范圍為{λ|λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$}
故答案為：（0，-6），{λ|λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$}

點評 本題考查直線恒過定點，兩直線交點的意義，直線的斜率的范圍是解得本題的關鍵，屬于中檔題．