Question

P是橢圓上一定點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若∠PF₁F₂=60°，∠PF₂F₁=30°，則橢圓的離心率為

3

-1

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意得出三角形PF₁F₂是含有30°的直角三角形，據(jù)此計(jì)算出三角形三條邊都用焦距F₁F₂表示，再用橢圓的第一定義結(jié)合離心率的公式，可以得出此橢圓的離心率．

解答：解：在△PF₁F₂中，∠PF₁F₂=60°，∠PF₂F₁=30°
∴∠F₁PF₂=90°，即△PF₁F₂是直角三角形
在Rt△PF₁F₂中，F(xiàn)₁F₂=2c（橢圓的焦距），∠PF₂F₁=30°
∴PF₂=c，PF₁=

3

c
根據(jù)橢圓的定義，得2a=PF₂+PF₁=（1+

3

）c
∴橢圓的離心率為e=

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1
故答案為：

3

-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的離心率和簡(jiǎn)單的直角三角形的解法，屬于容易題．準(zhǔn)確運(yùn)用橢圓的第一定義和橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．