設函數(shù)f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）+2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對任意的a∈（1，2），總存在x0∈[1，2]，使不等式f(x0)＞a+
9
4a
+m成立，求實數(shù)m的取值范圍．
考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）利用導數(shù)法即可求得函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）構造函數(shù)g（a）=a+
9
4a
+m，由題意得，即證f（x）max＞g（a）max，利用導數(shù)分別求出兩函數(shù)的最大值，解不等式即得結論．
解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為（-1，+∞），
f′（x）=2[（x+1）-
1
x+1
]=
2x(x+2)
x+1
，
由f'（x）＞0，得x＞0；
由f'（x）＜0，得-1＜x＜0
所以f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；遞減區(qū)間是（-1，0）．
（2）設g（a）=a+
9
4a
+m，g′（a）=1-
9
4a2
=0，∴a=
3
2
∴y=g（a）在a∈（1，
3
2
 ）上單調遞減，在a∈（
3
2
，2）上單調遞增，
又由（1）知f（x）在[1，2]上單調遞增，
∴f（x）max=f（2）=11-ln9…（12分）
又g（1）=
13
4
+m，g（2）=
25
8
+m，
∴g（1）＞g（2），
∴若對任意的a∈（1，2），總存在x0∈[1，2]，使不等式f(x0)＞a+
9
4a
+m成立，則
∴11-ln9＞
13
4
+m
∴m＜
31
4
-ln9．
點評：本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及求函數(shù)的最大值等知識，考查等價轉化思想的運用能力，屬難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2+（a-1）x+3在區(qū)間（-∞，4]上單調遞減，則a的取值范圍（　　）
A、[-3，+∞）
B、（-3，+∞）
C、（-∞，-3）
D、（-∞，-3]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=2x．若對任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f2（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2x+
3
sinxcosx．
（Ⅰ）求f（
π
12
）的值；
（Ⅱ）當x∈[0，
π
2
]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，a5=5，S8=36．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）將{an}中的第2項，第4項，…，第2n項按原來的順序排成一個新數(shù)列{bn}，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+ax+2ln（x-1），a是常數(shù)．
（1）若a=1，求y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f′（x）＞（a-3）x2對?x∈（2，3）恒成立，求a的取值范圍．
（參考公式：3x3-x2-2x+2=（x+1）（3x2-4x+2））

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的圓柱OO1中，過軸OO1作截面ABCD．已知PQ是圓O異于BC的直徑．
（Ⅰ）求證：O1B∥平面DPQ；
（Ⅱ）用平面DPQ截圓柱OO1的側面可得到半個橢圓，該半橢圓所在橢圓以PQ為短軸，OD為長半軸，若PQ=2，且橢圓的離心率為
3
2
，試求圓柱OO1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），且關于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），在直線x=m，x=m+6，y=0，y=c圍成的矩形內(nèi)任意取一點P，則P點落在y=f（x）與y=c圍成的封閉區(qū)域內(nèi)的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若存在實數(shù)x滿足不等式|x-4|+|x-a|＜3，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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