Question

15．已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R）
（1）判斷“f（x）為偶函數(shù)”是“φ=π”的什么條件；
（2）證明：f（x）為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)時φ=kπ，k∈Z判斷充分性不成立；φ=π時，f（x）是偶函數(shù)，判斷必要性成立；即可得出結(jié)論；
（2）由φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）判斷f（x）為奇函數(shù)，充分性成立；由f（x）為奇函數(shù)時，φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），必要性成立；即證結(jié)論成立．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）是偶函數(shù)，
∴φ=kπ，k∈Z，充分性不成立；
當(dāng)φ=π時，f（x）=Acos（ωx+φ）=-Acosωx是偶函數(shù)，必要性成立；
所以“f（x）為偶函數(shù)”是“φ=π”的必要不充分條件；
（2）證明：當(dāng)φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時，f（x）=Acos（ωx+$\frac{π}{2}$+kπ）=-Asin（ωx+kπ）為奇函數(shù)，充分性成立；
當(dāng)f（x）=Acos（ωx+φ）為奇函數(shù)時，φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），必要性成立；
所以f（x）為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）．

點(diǎn)評 本題考查了正弦、余弦函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了充分、必要條件的判斷問題，是基礎(chǔ)題目．