Question

設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）當(dāng)b＞0時(shí)，判斷函數(shù)f_n（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（Ⅲ）設(shè)n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)b＞0時(shí)，由函數(shù)的解析式可得f_n（x）′=nx^n-1+b在（0，+∞）上大于零，從而得到函數(shù)f_n（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f_n（x）=xⁿ+x-1，再根據(jù) fn(

1

2

)=(

1

2

)n+

1

2

-1＜0，f_n（1）=1＞0，結(jié)合函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)以及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，證得結(jié)論．
（Ⅲ）由于f₂（x）=x²+bx+c，它的對稱軸為x=-

b

2

，分故當(dāng)-

b

2

≤-1、分當(dāng)-

b

2

≥1、當(dāng)-1＜-

b

2

≤0、當(dāng) 0＜-

b

2

＜1四種情況，分別利用條件以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得b的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)b＞0時(shí)，由函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)，
可得f_n（x）′=nx^n-1+b在（0，+∞）上大于零，故函數(shù)f_n（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，則函數(shù)f_n（x）=xⁿ+x-1，
再根據(jù) fn(

1

2

)=(

1

2

)n+

1

2

-1＜0，f_n（1）=1＞0，
結(jié)合函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，可得f_n（x）在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．
（Ⅲ）由于n=2，f₂（x）=x²+bx+c，它的對稱軸為x=-

b

2

，
由于對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
故當(dāng)-

b

2

≤-1，即 b≥2時(shí)，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f₂（1）-f₂（-1）=2b≤4，∴b=2．
當(dāng)-

b

2

≥1，即 b≤-2時(shí)，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f₂（-1）-f₂（1）=-2b≤4，∴b=-2．
當(dāng)-1＜-

b

2

≤0，即0≤b＜2時(shí)，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f2(1)-f2(-

b

2

)=

b2

4

+b+1≤4，
解得-6≤b≤2；結(jié)合0≤b＜2可得 0≤b＜2．
當(dāng) 0＜-

b

2

＜1，即-2＜b＜0時(shí)，f₂（x）_max-f₂（x）_min=f2(-1)-f2(-

b

2

)=

b2

4

-b+1≤4，
解得-2≤b≤6；結(jié)合-2＜b＜0可得-2＜b＜0．
綜上可得，-2≤b≤2，即b得范圍為[-2，2]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．