Question

已知y=log

1

2

[a^2x+2（ab）^x-b^2x+1]（a、b∈R⁺），如何求使y為負(fù)值的x的取值范圍？

Answer 1

分析：要使y＜0，必須a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0．推導(dǎo)出（

a

b

）^x＞

2

-1或（

a

b

）^x＜-

2

-1（舍去）后，再分

a

b

＞1，

a

b

=1，

a

b

＜1三種情況進(jìn)行討論，從而求出使y為負(fù)值的x的取值范圍．

解答：解：要使y＜0，必須a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0
∵b^2x＞0
∴（

a

b

）^2x+2（

a

b

）^x-1＞0
∴（

a

b

）^x＞

2

-1或（

a

b

）^x＜-

2

-1（舍去）
∵a、b∈R⁺，∴

a

b

＞0．
當(dāng)

a

b

＞1時(shí)，即a＞b＞0時(shí)，x＞log

a

b

（

2

-1）．
當(dāng)

a

b

=1時(shí)，即a=b＞0時(shí)，x∈R．
當(dāng)

a

b

＜1時(shí)，即0＜a＜b時(shí)，x＜log

a

b

（

2

-1）
故當(dāng)a＞b＞0時(shí)，x＞log

a

b

（

2

-1）；當(dāng)a=b＞0時(shí)，x∈R；當(dāng)0＜a＜b時(shí)，x＜log

a

b

（

2

-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題是求對(duì)數(shù)函數(shù)取負(fù)值時(shí)x的取值范圍，解題要根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，然后再分情況進(jìn)行討論．