Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，直線AF₁交橢圓于B．如圖所示沿x軸折起，使得平面AF₁F₂⊥平面BF₁F₂．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求三棱錐A-F₁F₂B的體積；

Answer 1

分析：利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)及三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；

解答：（本小題滿分13分）
解：依題意得：

x2

2

+y2=1的頂點(diǎn)A（0，1），F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
直線AF₁：y=x+1，
聯(lián)立方程組

y=x+1 x2+2y2=2

⇒x2+2(x+1)2=2⇒3x2+4x=0，
x1=0，x2=-

4

3

∴B(-

4

3

，-

1

3

)∴S△F1BF2=

1

2

×|F1F2|×|yB|=

1

2

×2×

1

3

=

1

3

…（7分）
又∵面AF₁F₂⊥面BF₁F₂，而AO⊥F₁F₂，面AF₁F₂∩面BF₁F₂=F₁F₂，AO?面AF₁F₂
∴AO⊥面BF₁F₂，即AO為錐A-F₁F₂B的高，
故VA-F1FBB=

1

3

S△BF1F2×h=

1

3

×

1

3

×1=

1

9

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理及三棱錐的體積計(jì)算公式、考查空間想象能力以及計(jì)算能力．