Question

設圓x²+y²=4的一條切線與x軸、y軸分別交于點A、B，則|AB|的最小值為

 

．

Answer 1

分析：用截距式設出切線方程，由圓心到直線的距離等于半徑以及基本不等式可得，2

a2+b2

≤

a2+b2

2

，
令 t=

a2+b2

，則t=|AB|，解不等式得t≥4．

解答：解：設切線方程為

x

a

+

y

b

=1，即 bx+ay-ab=0，由圓心到直線的距離等于半徑得

|0+0-ab|

a2+b2

=2，∴|a||b|=2

a2+b2

≤

a2+b2

2

，令 t=

a2+b2

，
則t²-4t≥0，t≥4，故 t的最小值為 4．由題意知  t=|AB|，
故答案為：4．

點評：本題考查點到直線的距離公式和基本不等式的應用，體現了換元的思想．