一條直線l過點P(1,4),且分別交x軸、y軸正半軸于點A、B.求:

(1)它在兩軸的截距之和OA+OB最小時的直線l的方程;

(2)它與兩坐標軸所圍成的Rt△AOB的面積最小時直線l的方程.

解：設直線方程為+=1(a＞1).

∵過點P(1,4),則+=1.

(1)OA+OB=a+b=(a+b)(+)

=5++a

≥5+2=9.

當且僅當=a時取最小值.

此時得a=3,b=6.

∴直線方程為+=1,即2x+y-6=0.

(2)S△AOB=ab,

∵+=1≥2,

又∵ab≥16,

∴S△AOB=ab≥8.

當且僅當==即a=2,b=8時,S△AOB最小,此時直線方程為+=1,即4x+y-8=0.

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